Edifícios projetados e equipados para uso interno, ou, na antiguidade, interno e externo, esportes, exercícios ou educação física e treinamento e geralmente incluindo vestiários e banheiros ou chuveiros; na Grécia antiga, muitas vezes combinada com instalações educacionais; geralmente maior do que "palaestrae".

Fonte: AAT

http://vocab.getty.edu/page/aat/300007297

O termo “academia” é amplamente utilizado para se referir a estabelecimentos que oferecem serviços de atividades físicas e treinamento.

Fonte: https://www.soescola.com/glossario/academia-o-que-e-significado-definicao